Alles over Fibonacci

Wie was Fibonacci?

In 1170 werd Leonardo Pisano, de zoon van koopman Bonacci geboren, wij kennen hem nu als Leonardo van Pisa of Fibonacci. De naam Fibonacci was een bijnaam wat begon met Fillius Bonacci, de zoon van Bonacci, wat later is veranderd naar Fibonacci en dat is de naam waaronder hij nu bekend staat. In Berjala leerde Leonardo wiskunde, doordat hij veel met zijn vader reisde maakte hij ook nog kennis met de wiskunde uit verschillende landen bijvoorbeeld Egypte, Syrië, Griekenland, Sicilië en Frankrijk. Hierdoor kreeg hij een hele grote kennis over de wiskunde en begon hij met boeken schrijven. Het meest bekende werk van hem is Liber Acci, het boek van de abacus, die hij in 1202 schreef. Zijn met de hand geschreven boeken werden erg populair in die tijd, omdat zijn theorieën logisch en makkelijk toepasbaar beschreven waren. Dit was eigenlijk het hoogtepunt van zijn leven als wiskundige. Fibonacci heeft een grote invloed gehad op de hedendaagse wiskunde. Zijn boeken werden door leermeesters, handelaren en landmeters gebruikt als leerboeken. Hij schreef de Hindoe-Arabische notatie in zijn boek Liber Abaci, 9 cijfers, het getal nul en het positiestelsel. Dit gebruiken we vandaag de dag nog steeds in de wiskunde. Ook raakte West-Europa bekend met de wiskundige methoden uit diezelfde Hindoe-Arabische cultuur en mensen wisten die toe te passen in het dagelijks leven. Veel van zijn theorieën zijn toch na een tijd weer vergeten en moesten later herontdekt worden door andere wiskundigen. Dit was eigenlijk het hoogtepunt van zijn leven als wiskundige en na 1228 viel het stil. In circa 1250 overleed Leonardo van Pisa, de eerste westerse wiskundige die sinds de Griekse oudheid, origineel werk leverde.

De rij van Fibonacci

Een reeks is een rij van getallen met een komma ertussen. Bij sommige kun je de regelmaat gelijk zien zoals bij:

• 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, ….

Hier is het meteen duidelijk dat er telkens +1 bijkomt. Maar bij de rij van Fibonacci is het anders, als je de rij ziet weet je niet meteen de regelmaat. De rij bestaat uit een getallenreeks waar je telkens de twee vorige cijfers bij elkaar optelt om het 3e cijfer te krijgen. Zo ziet de rij van Fibonacci er dan dus uit:

• 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 2584, 4181, 6765, 10946, ….

Soms begint de rij met 1, 1 maar anderen laten de rij beginnen met 0, 1. Nu hebben ze een formule opgesteld voor als je de voorgaande getallen in de reeks wel weet.

• f0= 0 f1= 1 fn= fn-1 + fn-2

Als je de voorgaande elementen niet weet en gewoon F6 of bijvoorbeeld F3091 wil weten, dan bestaat daar ook nog een formule voor, namelijk:

• fn=((1+√5 )^n-(1-√5 )^n)/(2^n √5)

Het is op zich een erg bijzondere formule, omdat het getal dat je voor n invult een heel getal is. Maar toch bevat de formule een wortel 5. Later gaan we nog laten zien hoe dat komt.

Om de formule te testen hebben wij zelf ook een berekening gedaan, wij namen voor n=6 en hoewel we al weten dat er 8 uitkomt, gaan we ook kijken of we dat uit de formule kunnen halen:

We vullen hem eerst in de formule in

• f6=((1+√5 )^6-(1-√5 )^6)/(2^6 √5)

En dan gaan we eerst de som bovenin de breuk oplossen:

• (1+√(5 ))(1+√5)(1+√5)(1+√5)(1+√5)(1+√5) - (1-√5)(1-√5)(1-√5)(1-√5)(1-√5)(1-√5)

We nemen haakjes samen aan beide kanten.

• (6+2√5)(6+2√5)(6+2√5) - (6-2√5) (6-2√5)(6-2√5)

En nemen nog een keer samen.

• (56+24√5)(6+2√5)- (56-24√5)(6-2√5)

En nog een keer.

• (336+112√5+144√5+48×5)-(336-144√5-112√5+48×5)

We schrijven het simpeler op.

• 288√5+224√5=512√5

512√5 is dus de uitkomst van de teller van de breuk.

Nu kunnen we de bovenkant ook alvast invullen in de breuk, wat er dus zo uitgaat zien:

• f6=(512√5)/(2^6 √5)=512/64=8

En uiteindelijk is het antwoord bij f6 inderdaad 8, wat ook klopt als je in de rij kijkt. Dus hierbij hebben wij bewezen dat de formule in ieder geval klopt bij f6. Maar hoe kan het dan dat er toch een heel getal uit komt, namelijk 8 maar dat er toch een wortel 5 in zit? Als je nu kijkt zie je dat de wortel 5 bij een aantal sommen × zichzelf is gegaan waardoor het een heel getal werd, namelijk een 5 (√5 x√5=5) en bij andere gevallen; bij de laatste stap als je alles in de breuk gaat invullen valt het weg, want als boven de streep hetzelfde staat als onder de streep, kun je het weglaten, wat in dit geval er dus ook met de wortel 5 gebeurt. Maar je kan nou ook weer niet zeggen dat de wortel 5 onnodig is en je net zo goed een ander getal in kan vullen omdat hij toch maar wegvalt, want dat is niet het geval. Kijk maar eens, in de 2e stap wanneer we haakjes gaan samen nemen, is de 6 beïnvloed door de wortel 5, dit betekent dat ook de 56, 24 en de 6 in de 3e stap beïnvloed zijn. In de 4e stap zijn de 336, 112, 144 en 48x5 beïnvloed en dat maakt dat in de 5e stap de 288 en de 224 ook beïnvloed zijn, net als de 512. En voor het eindgetal wat hier 8 is, heb je ook die 512 nodig, die dus beïnvloed is door de wortel 5 en dus de 8 in de eind stap is ook beïnvloed door de wortel 5. Kortom; hij valt weg en gaat keer zich zelf dus is het mogelijk om uit de formule een heel getal te halen maar je kan hem ook weer niet weglaten omdat hij de uitkomst wel beïnvloedt!

Wat ook erg bijzonder is aan de rij van Fibonacci, is dat er ook nog een connectie is met het getal phi (φ). Namelijk, als je een getal uit de reeks deelt door het voorgaande getal, kom je steeds dichter bij phi naarmate je hogere getallen neemt:

• 1/2=0,5
• 2/3=0,6666666667
• 3/5=0,6
• 5/8=0,625
• 8/13=0,6153846154
• 4181/6765=0,618034

Je komt dus steeds dichter bij phi = 0,61803 Zodra je een getal uit de reeks deelt door getal dat daar weer opvolgt, kom je steeds dichter bij het getal 1,61803 wat de grote Phi is.

• 8/5=1,6
• 13/8=1,625
• 34/21=1,619047619

Phi is een getal dat je niet als een breuk op kan schrijven. En het hoort bij de irrationale getallen.

Nog een bijzonder eigenschap van de Fibonacci reeks is dat je dezelfde uitkomst krijgt als je een getal vermenigvuldigt met het volgende getal in de Fibonacci reeks, bijvoorbeeld Fn×F(n+1). En als je de kwadraten van alle voorgaande getallen, inclusief Fn neemt, dus bijvoorbeeld:

• 3 x 5 = 15
• 1^2+1^2+2^2+3^2=15

• 1^2+1^2+2^2+3^2=3 × 5

Dus als je nu alles weer in F en n gaat uit drukken om een algemene formule te krijgen, gebeurt er dit:

• 1^2+1^2+ ………. + F(n)^2=F(n)×F(n+1)

De gulden snede

De gulden snede is de verhouding die laat zien dat het kleinste stuk (B) van een lijn gedeeld door het grootste stuk(A), dezelfde verhouding laat zien als die twee stukken bij elkaar opgeteld gedeeld door het grootste stuk ((A+B)/A ). De Fibonacci reeks kun je tekenen in hokjes die aan elkaar vast zitten (op ruitjes papier). Daarmee begin je met een hokje met de grootte van 1, daarna weer 1, daarna 1 +1 = 2 daarna 1+2 = 3 daarna volgt een hokje van 5 vakjes, daarna 8, vervolgens 13, precies zoals de rij van Fibonacci. Als je die hokjes door middel van de passer met elkaar verbindt, krijg je een spiraal die steeds meer gaat lijken op de gulden snede. De gulden snede is erg bijzonder want het kent geen begin en geen einde, oneindig. Men noemt het ook wel de goddelijke verhouding. Mensen vinden het optisch (om naar te kijken) en akoestisch (om naar te luisteren) blijkbaar een prettige verhouding, misschien komt dat wel omdat mensen overal om hen heen deze verhouding zien en horen. De gulden hoek is als een cirkel die verdeeld wordt volgens de Gulden snede. Deze hoek is ongeveer 137,5°en blijkt erg veel voor te komen in delen van bloemen zoals in de zaden en natuurlijk in de bladeren zelf. Maar niet alleen in de natuur komt de Gulden snede voor, maar omdat hij fijn is om naar te kijken komt hij ook voor in de kunst. Wanneer een vrouw geschilderd wordt, zet bijna niemand die vrouw in het midden omdat het er niet mooi of saai uitziet, nee je doet het niet precies in het midden maar vlak bij de verhoudingen van de Gulden snede. Haar hoofd komt dan ook niet helemaal boven of onder aan, maar ook weer ongeveer op de hoogte van de Gulden snede.

Hoewel vroeger de Gulden snede niet bij iedereen bekend was, gebruikte ze het soms toch onbewust in hun schilderijen. Zoals bij Leonardo Da Vinci, hieronder zie je dat bijna alles is ingedeeld volgens de snede. Van de helft van het gezicht tot de hoek van de muur. Dit is meestal ook gelijk het aandachtspunt, want onbewust zoekt het oog deze plek meestal op.

Er is veel onderzoek naar gedaan of Mozart nou ook de Gulden snede heeft gebruikt in zijn symfonieën, want er bleek een verdeling in te zitten die precies op de verdeling van de Gulden snede lijkt. Maar niet iedereen is het er over eens.

Wel is men er zeker van dat het terug komt in de architectuur, dat deden ze dan zo dat de deur bijvoorbeeld op de plek van de Gulden snede zat of neem het Parthenon. Het is een Griekse tempel die staat op de Akropolis, op de tempelberg in Athene. Het is gebouwd rond zo’n 440 voor Christus en in dit gebouw zie je qua architectuur ook erg goed de gulden snede terug. De Grieken kenden de Gulden snede in die tijd al wel, maar het is nog niet zeker of ze er bewust gebruik van hebben gemaakt.

Maar dit is niet het enige waar de gulden snede in terug te vinden is. De piramides die ze in Egypte bouwden voor farao’s als graftombes bezitten ook kenmerken van de Gulden snede. Bijvoorbeeld de Grote Piramide in Gizeh die gebouwd werd rond 2500 voor Christus. Of het toeval is dat we de Gulden snede er in terug zien, blijft niet te verklaren. Maar wetenschappers denken wel dat deze manier werd gebruikt omdat deze bouwstijl beter bestand was tegen aardbevingen. Dat kan ook een reden zijn waarom deze piramide in nog zo een goede staat is en bewaard is gebleven.

De Mona Lisa, iedereen kent haar wel want ze is een van de bekendste schilderijen van de wereld. Haar gezicht bevat precies de juiste verhoudingen volgens de gulden snede, voor een mens. Dit lijkt misschien niet zo raar, maar als je hier dieper op in gaat, zie je dat het schilderij precies is op te delen in 4 hoeken die precies zo gedeeld kunnen worden dat er weer een nieuw rechthoek en vierkant uitkomt. Als je dit weer opdeelt krijg je weer dezelfde verhoudingen en zo kun je dus oneindig door gaan met het opdelen. Het gezicht wordt door deze vierkanten dan ook precies opgedeeld in de juiste verhoudingen. En dit kan dan ook allemaal gewoon toeval zijn maar ook in landschappen zie je deze verhoudingen weer terug. Wat een link legt met de Gulden snede.

Als je een keer de natuur in gaat om rond te kijken naar de bladeren en te zien of je iets herkent uit de Gulden snede (soms in combinatie met de Fibonacci getallen) zul je heel wat dingen vinden. De structuur is namelijk terug te vinden bij schelpen, dennenappels en de schikking van zonnepitten.

Dit bewijst maar weer dat je de Gulden snede op zoveel plekken terug vindt, dat je het soms ook helemaal niet door hebt. En kijk eens naar het symbolische kruis van Jezus, ook hier speelt de Gulden snede een rol. En als jij een keer een foto-shoot zou houden, zal de fotograaf je ook zeker niet in het midden zetten. Maar ook jij zelf bent een voorbeeld van de Gulden snede, de afstand tussen je hoofd en je middel komt weer in verhouding met de afstand van je middel tot je voeten die weer in verhouding is met je hele lengte.

Fibonacci in de natuur

Als je goed oplet zul je Fibonacci overal in de natuur tegenkomen. Fibonacci is ook wel afgeleid van het ‘konijnenprobleem’ . Hierbij start je met 1 konijnenpaartje. Na een maand zijn de konijnen volwassen en een maand later zal de eerste konijnenbaby geboren worden. Weer een maand later krijgen ze weer een kleintje. Dan zijn er dus twee konijnenparen, dit gaat zo door en dan komen deze getallen van konijnenpaartjes eruit. 1,1,2,3,5,8,13,21… enz. De rij van Fibonacci dus. Eigenlijk heeft dit niet zo heel veel met de echte natuur te maken, want bij deze telling wordt ervan uitgegaan dat er nooit konijnen doodgaan. Als je naar het patroon van de pitten van een zonnebloem kijkt is er niet heel erg veel speciaals aan te zien, maar als je de spiralen gaat tellen linksom en rechtsom, kom je afhankelijk van de grootte en soort van de zonnebloem op 34 en 55, 55 en 89, 89 en 144 zonnebloempitten. Allemaal opeenvolgende cijfers uit de rij van Fibonacci. Ook in de manier waarop de zaden in de zonnebloem zitten zie je iets van Fibonacci terug namelijk de hoek die telkens gedraaid word om bij de volgende zonnebloempit te komen is namelijk de gulden hoek. (zie gulden snede) φ x 360° = 222,5°. Een banaan heeft aan de buitenkant 5 vlakken, en als je de banaan pelt en je drukt voorzichtig op het puntje valt de banaan in drie stukken, ook getallen uit de rij van Fibonacci. Heel veel bloemen hebben ook een verwantschap met de rij van Fibonacci, is het al niet met het aantal zaden in een spiraal dan is het wel met het aantal bloemblaadjes dat ze hebben. Dit geldt onder andere bij een wilde roos, weegbree, kruiskruid, aster en een lelie. Soms zijn er uitzonderingen waarbij dit niet klopt, maar eigenlijk moet je gewoon naar het meest voorkomende patroon kijken. Als voorbeeld; je staat in een weiland vol klaver, al die klavertjes hebben 3 blaadjes, maar jij zoekt een klavertje 4. Deze zul je niet snel vinden, maar ze bestaan wel. Deze klavertjes zijn eigenlijk een fout van de natuur. Dit alles heeft te maken met cellen die op een bepaalde manier van de kern weggedrukt worden zodat er zoveel mogelijk in passen. Als je naar een slakkenhuis kijkt en dan naar de spiraal van Fibonacci waarbij de hoeken van de gulden snede door middel van een spiraal met elkaar verbonden worden zie je dat een slakkenhuis er bijna hetzelfde uitziet. Bij sommige geiten zie je dit patroon ook in de horens terug, ook zijn er roofvogels die, als ze afdalen naar hun prooi toe, precies de cirkels maken die je in de Fibonacci spiraal ook opmerkt. Al met al, kom je Fibonacci overal in de natuur tegen.

Conclusie

Fibonacci is een getallen reeks, waarbij het laatste getal telkens met het voorgaande getal opgeteld wordt om het daaropvolgende getal te krijgen. Fibonacci komt vaak in de natuur voor en legt ook een link met de Gulden snede. Men gebruikte deze combinatie onbewust en bewust in de architectuur, in kunst en muziek, het wordt ook wel de goddelijke verhouding genoemd en gaat oneindig door. Het wordt nog steeds vaak gebruikt omdat het akoestisch en optisch fijn is om naar te luisteren en naar te kijken. Leonardo van Pisa heeft een erg grote rol gespeeld in de bekend making van deze soort wiskunde en is volgens veel mensen, de eerste die origineel werk leverde sinds de Grieken.