De Wet van Bernoulli
Inleiding
De wet van Bernoulli is een natuurkundige wet die het stromingsgedrag van vloeistoffen beschrijft en de drukveranderingen aan hoogte- en snelheidsveranderingen relateert. Deze wet werd in de 18e eeuw beschreven door Daniel Bernoulli.
Een van de natuurkundige effecten die de wet in verband brengt is dat een toename in snelheid van een vloeistof gepaard gaat met een verlaging van de druk in de vloeistof.
Beschrijving van de wet (permanente stroming)
Langs een stroomlijn geldt:
Ook dikwijls herschreven in de vorm:
Waarin:
- v de stroomsnelheid (m/s)
- g de gravitatie (m/s²)
- h drukhoogte (m)
- p de druk (Pa)
- ρ de (massa) dichtheid (kg/m³)
- z de plaatshoogte t.o.v. referentielijn (m)
Achtergrond
Eigenlijk is deze wet niets anders dan de wet van behoud van mechanische energie:
Hierin is:
- Etot = de totale mechanische energie van een bepaald lichaam [J = Nm]
- Epot = de potentiële energie van dat lichaam = m·g·d [J = Nm]
- Ekin = de kinetische energie van dat lichaam = 1/2m·v2 [J = N
De wet van behoud van energie geldt alleen, "Als er geen energie van buiten aan het beschouwde systeem wordt ontrokken of toegevoegd".Delen we het linker en rechter lid door m·g, dan staat er:
Voor een deeltje met constante massa m is m·g ook weer constant, dus geldt er:
"De som van de hoogte van het deeltje boven (onder) het horizontaal vergelijkingsvlak en het kwadraat van de snelheid, gedeeld door 2g is constant."
In formule vorm wordt dit als volgt uitgedrukt:
* De constante drukt men in de hydraulica uit dor de letter H, waarbij dus H = E/(m·g)
Hierbij speelt dus de afstand van het vloeistofdeeltje tot het vergelijkingsvlak geen enkele rol. Slechts de afstand van de vloeistofspiegel boven het deeltje tot het vergelijkingsvlak is bepalend. Waardoor de wet van Bernoulli:
Uitbreiding: Wet van Bernoulli met energie verlies
In het voorgaande is uitgegaan van een permanente stroming. De wet van behoud van energie geldt alleen, "Als er geen energie van buiten aan het beschouwde systeem wordt ontrokken of toegevoegd". In de praktijk is dit echter meestal niet het geval. Toch kan men de wet van Bernoulli toepassen, als men rekening houdt met de energiewinst of met het energieverlies.
Treedt er tussen punt 1 en 2 een energieverlies op, dan blijft de energiehoogte H dus niet constant, maar is dat afgenomen met ΔH1,2. De formule van Bernoulli kan dus als volgt geschreven worden:
Energieverliezen
Er kan onderscheidt gemaakt worden tussen de volgende energieverliezen:
-
Statisch energieverlies
-
Wrijvingsverlies
-
Vertragingsverlies
Statisch energieverlies
Statisch energieverlies is energieverlies ten gevolge van hoogte verschil (drukhoogte). Indien een leiding tussen de punten 1 en 2 een hoogte moet overwinnen van 20m, dan is het energieverlies ΔH1,2 = 20m. Dit is al verwerkt in de formule met plaatse hoogte z1 en z2.
Wrijvingsverlies
Wrijvingsverlies is het verlies in energie hoogte ten gevolge van wandwrijving. Het wrijvingsverlies is nooit exact te bepalen, omdat deze afhankelijk is van o.a. de ruwheid van de wand. Deze ruwheidfactor is nooit nauwkeurig te bepalen en heeft de berekening dus altijd een kleine afwijking.
Er bestaan enkele formules om het verlies ten gevolge van wandwrijving te bepalen. Een formule die het dichts in de buurt komt is de colebrook-white education die de wrijvingsfactor benaderd:
met
Vanwege de complexiteit van colebrook-white, wordt deze hier niet verder behandeld. Een eenvoudigere benadering van het dynamisch energieverlies (wrijvingsverlies) is de formule van Chézy.
met
Waarin:
- Hdyn het energieverlies t.g.v. wrijving (m)
- L de lengte van de buis (m)
- Q het debiet in (m3/s)
- D de inwendig diameter van de buis (m)
- C de coëfficiënt van Chézy (m0,5/s)
- A de natte doorsnede oppervlakte (m2)
- R de hydraulische straal (m)
- k de k-waarde voor wandruwheid (mm)
Energieverlies ten gevolge van appendages
Er moet rekening worden gehouden met energieverlies in bochten, T-stukken, intrede verlies en uitrede verlies.
De algemene formule voor vertragingsverlies luidt als volgt:
Hierin is ξv Een nader te bepalen verliescoëfficiënt afhankelijke van de mate van vertraging. Hieronder zijn een aantal indicaties aangeven voor waarden van ξv.
| bochten | 0,5 |
| afsluiters | 0,3 |
| terugslagkleppen | 2,5 |
| in-/uitstroming | 1,5 |
Toepassing
Met behulp van de formule van Bernoulli kan de druklijn en energielijn in een buis met stroming getekend worden.
Druklijn en energielijn in een wrijvingslozebuis
Figuur 1
Druklijn en energielijn in een buis met wrijving
Wanneer we wel rekeninghoude met energieverlies, zal de energielijn niet constantblijven zoals in figuur 1. Naarmate de snelheid toeneemt, is het energieverlies iets groter.
Figuur 2