Wat zijn egyptische breuken
Inhoudsopgave
- Inleiding
- In welke tijd werden de Egyptische breuken bedacht en gebruikt?
- Wat zijn Egyptische Breuken? Zijn er bijzondere eigenschappen aan te wijzen?
- Welke methoden bestaan er om Egyptische breuken op te lossen?
- Welke andere rekenmethoden en getallenstelsel gebruikten de oude Egyptenaren?
- Waarom gebruikten de oude Egyptenaren de Egyptische Breuken? Waarom gebruiken wij nu geen Egyptische Breuken meer?
- Conclusie
- Bronnen
Inleiding
In dit artikel wordt gekeken naar de zeer oude rekenmethode van een zeer vooruitstrevende beschaving: de methode van de Egyptische Breuken.
In dit artikel hoop ik meer te weten te komen over Egyptische Breuken. Daartoe is een hoofdvraag opgesteld, die zal worden beantwoord aan de hand van een aantal deelvragen.
De hoofdvraag luidt: Wat zijn Egyptische Breuken en waarom werden ze gebruikt?
Om deze hoofdvraag te kunnen beantwoorden zijn de volgende deelvragen opgesteld:
- In welke tijd werden de Egyptische Breuken bedacht en gebruikt?
- Wat zijn Egyptische Breuken? Zijn er bijzondere eigenschappen aan te wijzen?
- Welke methoden bestaan er om Egyptische breuken op te lossen?
- Welke andere rekenmethoden en getallenstelsel gebruikten de oude Egyptenaren?
- Waarom gebruikten de oude Egyptenaren de Egyptische Breuken? En waarom gebruiken we vandaag de dag niet meer de Egyptische Breuken?
Daarna wordt in de conclusie een antwoord op de hoofdvraag gegeven.
In welke tijd werden de Egyptische breuken bedacht en gebruikt?
Egyptische breuken werden bedacht in het Oude Egypte. Het Oude Egypte was een verenigde staat en is ontstaan uit twee gebieden (Opper-Egypte en Neder-Egypte) die autonoom bestuurd werden door een eigen heerser. Omstreeks 3100 voor Christus werden beide delen veroverd en verenigd tot één staat. Koning Narmer van Opper-Egypte zou deze verovering geleid hebben. Narmer zou later de stad Memphis gesticht hebben. Koning Narmer, ook wel Menes genoemd, stond aan het begin van de 31 dynastieën van farao’s waarin de oude geschiedenis van Egypte is op te delen: het Oude Rijk, het Middenrijk, het Nieuwe Rijk en de Late Periode. Het Oude Egypte bleef als onafhankelijke staat bestaan tot ongeveer 330 voor Christus, toen Egypte veroverd werd door Alexander de Grote. In 30 voor Christus werd het Egyptische rijk ingelijfd bij het Romeinse Rijk. Zo werd keizer Augustus de eerste Romeinse farao in Egypte.
De Oude Egyptische beschaving was een vrij moderne en geavanceerde maatschappij. Aan het hoofd van de maatschappij stond de koning (farao). Deze koning stond aan het hoofd van het zowel het bestuurlijke als het militaire en religieuze apparaat. Verder kon hij in rechtszaken uitspraken doen. Maar de koning had niet altijd een absolute macht. Als zijn centrale gezag niet sterk genoeg was namen de lokale bestuurders een deel van de macht over. Het Egyptische Rijk was groot en de koning kon het niet alleen besturen. Daarom werd hij bijgestaan door ministers en ambtenaren. De Egyptische beschaving kende eeuwen van een relatief stabiel bestuur. Het was ook de eerste beschaving waarin technologie, zoals irrigatie en wegen, toegepast werd.
De rivier de Nijl is van oudsher van het grootste belang voor Egypte geweest. De Nijl werd en wordt nog steeds als “gift” gezien. Vanaf 8000 voor Christus verdroogde Egypte. In het Oude Egypte had zich rond 2500 voor Christus een grote woestijn gevormd: de Sahara. De oude stammen trokken toen naar de oevers van de Nijl. In de Nijlvallei ontstond een gecentraliseerde maatschappij. Door de jaarlijkse overstromingen was de Nijlvallei erg vruchtbaar en zorgde voor goede landbouwgrond. De gebergten in het oostelijk gebied van Egypte waren daarnaast rijk aan mineralen. Goud werd gevonden in het gebied tussen de Nijl en de Rode Zee. De Libische keten in het westen werd gebruikt om zandsteen en kalksteen te delven. Met het goud, de zandsteen en kalksteen konden de Oude Egyptenaren de beroemde monumenten zoals tempels en piramiden bouwen en versieren. Verder werd met deze materialen handel gedreven met het buitenland. Behalve rijk in grondstoffen, waren de Egyptenaren ook “rijk” op andere gebieden. In het Oude Egypte werd een hoogstaand schrift ontwikkeld en gebruik gemaakt van getallen en wiskunde.
De Oude Egyptenaren ontwikkelden het Egyptisch schrift. Dit is een beeldschrift, waarvan de schrifttekens hiëroglyfen worden genoemd. Het hiëroglyfenschrift werd alleen gebruikt op monumenten. Hiernaast werd door de Oude Egyptenaren gebruik gemaakt van het Hiëratisch schrift op papyrus. Bijzonder aan het hiëroglyfenschrift is dat de schrifttekens geen klinkers kent, maar dat enkel de medeklinkers werden geschreven. Hiëroglyfen zijn verder op te delen in logogrammen en fonogrammen. Logogrammen zijn tekens waarvan de uiterlijke vorm direct verwijst naar het bedoelde begrip. Fonogrammen werden gebruikt om alleen gebruikt om een klank aan te duiden, waarbij men de vergelijking kan maken met de hedendaagse rebussen.
Naast het schrift werd er in het Oude Egypte al rond 2000 voor Christus gewerkt met getallen. Het beroemde Rhind-papyrus van de Egyptische schrijver Ahmes bevat een verzameling wiskundige problemen en oplossingen. De Oude Egyptenaren gebruikten een systeem van Egyptische cijfers als getallenstelsel. Net zoals het schrift werden de getallen geschreven in Egyptische hiëroglyfen en Hiëratisch schrift. Wat zijn Egyptische Breuken? Zijn er bijzondere eigenschappen aan te wijzen?
Wat zijn Egyptische Breuken?
De Oude Egyptenaren werkten, net als wij nu nog doen, met breuken. Zij kenden alleen niet de breuken zoals wij die nu kennen. De Oude Egyptenaren werken vrijwel alleen met stambreuken. Dit zijn breuken waarvan de teller 1 (één) is, zoals ½ en ¼. Als uitzonderingen werden de niet-stambreuken 2/3 en ¾ wel gebruikt. De Oude Egyptenaren noteerden de stambreuken door een ‘open mond’ boven de noemer te plaatsen. Voor sommige breuken hebben ze speciale schrijfwijzen bedacht.
De Oude Egyptenaren schreven breuken dus in principe in de vorm 1/n (waarbij n een geheel en positief getal is). Breuken zoals 2/5 en 6/7 konden zij dus niet op zo schrijven. Dit soort breuken konden ze wel noteren door stambreuken bij elkaar op te tellen. Hierbij moesten alle stambreuken verschillend zijn.
De breuk 2/7 kon zo bijvoorbeeld zo worden genoteerd: 2/7= 1/4 + 1/28 Maar niet zo, want er zijn hierbij twee dezelfde stambreuken gebruikt: 2/7=1/7 + 1/7
De breuk 6/7 kon bijvoorbeeld zo worden genoteerd: 6/7 = 1/2 + 1/3 + 1/42
5/6 = 1/2 + 1/3
Als een breuk geschreven wordt als de som van verschillende stambreuken wordt dit een Egyptische Breuk genoemd.
Iedere breuk kan geschreven worden als de som van een aantal stambreuken. Hier maakten de Oude Egyptenaren gebruik van. Door de wiskundige James Sylvester (1814 - 1897) werd eeuwen later bewezen dat inderdaad iedere breuk geschreven kan worden als de som van het aantal stambreuken.
Wat is er bijzonder aan de Egyptische Breuken? Bijzonder aan de Egyptische Breuken is dat er geen enkele unieke Egyptische Breuk bestaat. Iedere breuk is op een oneindig aantal manieren te schrijven.
Dit valt op deze manier uit te leggen: Het gehele getal 1 (één) is als Egyptische Breuk te schrijven. De kortst mogelijk Egyptische Breuk is dan: 1= 1/2 + 1/3 + 1/6
Een Egyptische Breuk is op de volgende manier altijd uit te breiden: Als voorbeeld wordt de breuk 3/4 genomen. De Egyptische Breuk 3/4 is zo kort mogelijk als volgt te schrijven: 3/4= 1/2 +1/4
Om de Egyptische breuk uit te breiden, op nog een andere wijze te schrijven wordt er met de laatste stambreuk (in dit geval dus 1/4) gewerkt.
De laatste stambreuk wordt vermenigvuldigt met stambreuken van de kortst mogelijke Egyptische Breuk van 1.
Zo wordt 1/4 achtereenvolgens vermenigvuldigd met 1/2, 1/3 en 1/6. Dit geeft: 1/4 * 1/2 = 1/8 1/4 * 1/3 = 1/12 1/4 * 1/6 = 1/24
Deze drie stambreuken worden vervolgens ingevuld op de plek van 1/4 in de Egyptische Breuk van 3/4. Op deze manier: 3/4= 1/2 +1/8 +1/12 +1/24
Vervolgens kan weer een andere Egyptische Breuk gemaakt worden door de 1/24 (de laatste stambreuk) weer te vermenigvuldigen met de stambreuken van Egyptische Breuk van 1.
Zo is 1/24: 1/24 = 1/48 + 1/72 + 1/144 En wordt 3/4 dus: 3/4= 1/2 +1/8 + 1/12 + 1/48 + 1/72 + 1/144
Dit kan iedere keer opnieuw met de laatste stambreuk gedaan worden en daarom zijn de mogelijkheden voor de Egyptische Breuk oneindig. Iedere keer wordt er een nieuwe, en andere Egyptische Breuk verkregen. Omdat er iedere keer gewerkt wordt met de laatste stambreuk, wordt deze vervangen door stambreuken met een grotere noemer. Op deze manier zullen er geen noemers ontstaan die al in de Egyptische breuk gebruikt zijn. Zo zijn alle stambreuken iedere keer verschillend, en wordt ook aan deze voorwaarde voor de Egyptische breuk voldaan.
Als conclusie kan gesteld worden dat door het vermenigvuldigen van de laatste stambreuk van een Egyptische Breuk met 1/2, 1/3 en 1/6 (de stambreuken van de kortste Egyptische Breuk van 1) iedere keer opnieuw een verschillende Egyptische Breuk gemaakt kan worden.
Welke methoden bestaan er om Egyptische breuken op te lossen?
De meest gebruikte methode om van een breuk een Egyptische Breuken te maken is de methode van Fibonacci. Deze methode wordt ook wel de “Gulzige Algoritme” methode (Greedy Algorithm) genoemd.
Dit is een goedwerkende methode. Wel moet men er op letten dat de breuk aan de voorwaarden voldoet:
- breuk moet kleiner zijn dan 1: t/n <1
- de teller t ≠1. Als de teller 1 is, is het al een stambreuk.
- en teller t > 0
Als aan de breuk aan de voorwaarden voldoet, kan de Gulzige Algoritme methode toegepast worden. Als voorbeeld wordt hier de breuk 521/1050 genomen, die aan de voorwaarden voldoet.
Bij de Gulzige Algoritme methode begin je door de grootste stambreuk te nemen die er in de gegeven breuk zit. Hierna trek je deze stambreuk van de gegeven breuk af. Wat er dan van de breuk overblijft wordt gebruikt om weer een grootste stambreuk uit te halen, en zo wordt doorgegaan tot de breuk enkel tot stambreuken is herleid.
521/1050= 1/3 + rest Neem hier 1/3, want 521 is minder dan 1/2 van 1050
521/1050 – 1/3 = 57/350 Trek de stambreuk van de gegeven breuk af
57/350= 1/7 + rest Neem hier 1/7. 350/57 is 6,14 1/6 is te klein, dus neem 1/7
57/350 – 1/7 = 1/50 Trek de stambreuk van de breuk af. Er blijft nu een stambreuk over.
Dus: 521/1050= 1/3 + 1/7 + 1/50
Dat de Gulzige Algoritme methode werkt voor iedere breuk (t/n) die aan de genoemde voorwaarden voldoet is bewijsbaar.
Vanuit de breuk t/n willen we naar de Egyptische Breuk t/n=1/u1 + 1/u2 +.. + 1/un. Hierbij is altijd u1
Voor de “rest” wordt hierna van de gegeven breuk de stambreuk afgetrokken: t/n – 1/u1 en dit geeft (t*u1-n)/(n*u1). Hiermee wordt weer verder gerekend. Eerder is al uitgelegd dat 1/u1-1 >t/n. Door beide kanten vervolgens met n te vermenigvuldigen wordt verkregen: n/u1-1 > t.
Daarna kan men de teller naar de ene zijde brengen en isoleren: n > t * (u1 - 1) n> t * u1 – t t > t*u1 - n Deze t * u1 – n is de teller van de nieuwe restwaarde en er blijkt dat deze kleiner is dan de eerdere teller. Als de nieuwe restwaarde een 1 als teller heeft is er een stambreuk ontstaan en is de Egyptische Breuk klaar, zo niet dan wordt het proces herhaald zoals eerder is beschreven. De teller t krijgt hierbij steeds een kleinere gehele waarde, waardoor t uiteindelijk de waarde 1 zal krijgen. Hieruit blijkt dus dat van iedere breuk uiteindelijk een Egyptische Breuk te maken is.
De kortst mogelijke Egyptische Breuk De Gulzige Algoritme methode geeft dus altijd een Egyptische Breuk, maar dit is lang niet altijd de kortst mogelijke Egyptische Breuk. Zo is de Egyptische Breuk van 4/17: 4/17 = 1/5 + 1/29 + 1/1233 + 1/3039345 Maar 4/17 is ook te schrijven als: 4/17 = 1/5 + 1/30 + 1/150
In het onderzoek dat gedaan is naar Egyptische Breuken voor deze praktische opdracht is niet een duidelijke methode ontdekt om systematisch de kortst mogelijke Egyptische Breuk te verkrijgen van een gegeven breuk. Op internet zijn overzichten en tabellen te vinden die men heeft samengesteld over de kortst mogelijke Egyptische Breuken. Er staat bijvoorbeeld in hoeveel kortste Egyptische Breuken er van een gegeven breuk bestaan. Ook bestaan er internetprogramma’s die de kortst mogelijke Egyptische Breuk geven als je een breuk invoert.
Als men niet uit de Egyptische Breuk kan komen, kan men dus altijd terugvallen op de methode van het Gulzige Algoritme, deze komt namelijk altijd uit. Nadeel van deze methode is dat het niet altijd de kortst mogelijke oplossing geeft.
Welke andere rekenmethoden en getallenstelsel gebruikten de oude Egyptenaren?
De Oude Egyptenaren kenden een tientallig getallenstelsel. Zij gebruikten voor de getallen verschillende symbolen: 1 (één) werd weergegeven als een verticale streep. Twee als twee verticale strepen enzovoorts. 10 (tien) kreeg ook een apart symbool: een “ossenspan” . 100 werd weergegeven als een rol touw. 1000 werd afgebeeld als een lotusplant. 10.000 werd als vinger afgebeeld. 100.000 werd als kikker weergegeven
- 000.000 werd afgebeeld als een god met armen boven het hoofd.
Met deze symbolen konden de Egyptenaren alle gehele getallen maken. Er werd gebruik gemaakt van combinaties van symbolen. De hogere getallen werden altijd meest links gezet, de lagere getallen altijd meest rechts. Als er meer rijen getallen waren, werd er van bovenaf begonnen met tellen.
De Oude Egyptenaren konden ook optellen en aftrekken met deze symbolen. Bij het optellen werden de symbolen van beide getallen als het ware bij elkaar gegooid. Daarna werden 10 eenheden vervangen door een tiental, 10 tientallen door een honderdtal enzovoorts.
Als er getallen van elkaar afgetrokken moesten worden, vulden de Oude Egyptenaren het kleinste getal aan met symbolen tot het grootste getal. Als 310 van 1000 werd afgetrokken, werd eerst 90 bij 310 aangevuld zodat er een totaal van 400 werd bereikt. Daarna werd de 400 met nog eens 600 aangevuld tot 1000. Optellen gaf dan: 90+600=690. (1000-310=690) Vermenigvuldigen en delen deden de Oude Egyptenaren ook, maar op een andere manier dan dat wij dat nu doen. Bij het vermenigvuldigen werkten de Oude Egyptenaren met verdubbelen en halveren, en daarna bij elkaar optellen. Met deze methode is iedere vermenigvuldiging uit te voeren. In het voorbeeld hieronder wordt duidelijk hoe dat werkt:
18 * 35 = 70 + 560 = 630
1 35 verdubbelen 2 70 verdubbelen 4 140 verdubbelen 8 280 verdubbelen 16 560 daarna optellen 16 en 2 70+560
Het delen gaat weer op een andere manier, maar ook hierbij wordt gebruik gemaakt van verdubbelen en optellen. Hieronder is dat weer in een voorbeeld weergegeven:
680 / 18 = 32+2+1=35
1 18 verdubbelen 2 36 verdubbelen 4 72 verdubbelen 8 144 verdubbelen 16 288 verdubbelen 32 576 daarna optellen 576 en 36 en 18=630 1+2+32
Het probleem bij het delen met deze methode is dat het alleen werkt met delingen die “mooi” uitkomen. Bij delingen die niet uitkomen, blijf je met deze methode zitten met de “rest”’.
Waarom gebruikten de oude Egyptenaren de Egyptische Breuken? Waarom gebruiken wij nu geen Egyptische Breuken meer?
Waarom gebruikten de Oude Egyptenaren de Egyptische Breuken? Waarom de Oude Egyptenaren kozen voor het systeem van Egyptische Breuken is niet duidelijk. Naar alle waarschijnlijkheid is het wel een systeem geweest, wat voor hen voldeed, want ze hebben er eeuwenlang gebruik van gemaakt.
De Oude Egyptenaren pasten de Egyptische breuken toe bij algebraïsche en meetkundige problemen. Op de gevonden papyrussen werden opgeloste rekenkundige problemen gevonden. De meeste problemen waren erg praktisch van aard en de wiskunde van de Oude Egyptenaren wordt nu vaak ‘toegepaste rekenkunde’ genoemd. Wiskundig gezien was de kennis van de Oude Egyptenaren dan misschien niet hoogstaand (naar de huidige maatstaven).
De Egyptische breuken werden door de Oude Egyptenaren vaak gebruikt voor hoeveelheids-berekeningen, inhoudsberekening en oppervlakteberekeningen. Praktisch gezien heeft het systeem wel voordelen. Door deze voordelen kan het zelfs nu nog handig zijn de Egyptische Breuken te gebruiken in bepaalde situaties.
Als voorbeeld twee situaties:
- Het verdelen van een hoeveelheid voedsel over een aantal personen.
- Het vergelijken van hoeveelheden.
Bij de eerste situaties is er een gegeven hoeveelheid voedsel die op het eerste gezicht niet eenvoudig over de personen te verdelen is. Er zijn bijvoorbeeld vijf zakken broden en acht mensen die ieder een gelijke portie brood dienen te krijgen. Met behulp van Egyptische Breuken vind je: 5/8= 1/2 +1/8. Op deze manier kan je dus eenvoudig de vijf broden over de acht mensen verdelen. Eerst geef je ieder een half brood, daarna verdeel je het laatste brood in 8 gelijke stukken en krijgt ieder een deel.
Bij de tweede situatie zijn er twee hoeveelheden in breuken gegeven. Bijvoorbeeld 3/4 en 4/5. Door hiervan Egyptische Breuken te maken kan je eenvoudig zien wat de grootste hoeveelheid is: 3/4 = 1/2+1/4 4/5 = 1/2+1/4+1/20 In dit geval is 4/5 natuurlijk de grootste hoeveelheid, bij breuken met grotere noemers en/of tellers is het misschien minder duidelijk. Bij de gegeven hoeveelheden 111/230 en 112/231 kun je beter de laatste hoeveelheid kiezen, zoals blijkt uit de Egyptische Breuken: 111/230 = 1/3+1/7+1/156+1/125580 112/231 = 16/33 = 1/3+1/7+1/116+1/26796 Wat hierbij ook niet vergeten dient te worden is dat de Oude Egyptenaren natuurlijk niet beschikten over rekenmachines. Waar wij bij het vergelijken van een hoeveelheid of ander breukenprobleem vaak snel een rekenmachine erbij pakken, moesten zij met een rekenmethode de problemen te lijf gaan.
Waarom gebruiken we nu geen Egyptische Breuken meer? Tegenwoordig maken we naast de stambreuken (1/n), ook gebruik van breuken in de vorm van t/n. Hierbij is t de teller en n de noemer. Teller t is een geheel en positief getal, evenals noemer n. Als de teller t een waarde van 1 heeft spreken we dus van een stambreuk. Deze breuk is niet verder te vereenvoudigen. Als teller t kleiner is dan de noemer n is er sprake van een “echte breuk” en ligt de waarde tussen 0 en 1. Er is sprake van een “onechte breuk” als teller t groter of gelijk is aan noemer n. De waarde van de breuk is dan groter of gelijk aan 1.
Het voordeel van het gebruik van deze niet-stambreuken is dat zij veel eenvoudiger te noteren zijn. Er kan vaak makkelijker mee gerekend worden, vooral als men gebruik kan maken van een rekenmachine.
In het verleden is de methode van Egyptische Breuken voor de Oude Egyptenaren dus een voldoende bruikbare methode gebleken, er is immers eeuwenlang met deze methode gewerkt. Sommige critici zeggen dat dit was bij gebrek aan een betere methode, maar het was een werkzame methode en geschikt om de praktische problemen van die tijd het hoofd te kunnen bieden. In het huidige computertijdperk en in de huidige tijdsgeest waarin alles zo snel en efficiënt mogelijk moet, lijkt er voor de Egyptische Breuken vrijwel geen plaats meer te bestaan. Desalniettemin is het een fascinerende en interessante methode, die zeker de moeite van het bestuderen waard is.
Conclusie
In deze praktische opdracht is gekeken naar de Egyptische Breuken zoals de Oude Egyptenaren die hebben bedacht en eeuwenlang hebben gebruikt. Er is middels deelvragen geprobeerd antwoord te geven op de hoofdvraag “Wat zijn Egyptische Breuken en waarom werden ze gebruikt?”
De Oude Egyptische beschaving was vooruitstrevend. Dit bleek onder andere uit het gebruik van het schrift met de bekende hiëroglyfen en het bouwen van piramiden en tempels. Ook bedachten de Egyptenaren getallen en rekenmethoden. Voor getallen tussen 0 en 1, waarvoor wij tegenwoordig de decimale breuk gebruiken, hadden de Oude Egyptenaren een bijzondere oplossing. Zij kenden alleen de stambreuken (1/n), maar konden dankzij de Egyptische Breuk hier alle breuken mee maken. Dit deden zij door een som te maken van verschillende stambreuken. Bijzonder aan de Egyptische Breuken is dat er geen enkele unieke Egyptische Breuk bestaat. Iedere Egyptische Breuk is op een oneindig aantal manieren te schrijven.
De meest gebruikte manier om een Egyptische Breuk te maken is de methode van Fibonacci. Dit wordt de methode van het Gulzige Algoritme genoemd. Met deze methode is van iedere breuk een Egyptische Breuk te maken. Met deze methode is dat echter niet altijd de kortst mogelijke Egyptische Breuk.
De Oude Egyptenaren konden met de Egyptische Breuken praktische wiskundige problemen oplossen. Met de Egyptische Breuken is het mogelijk om een hoeveelheid in gelijke delen te verdelen. Ook kan je er eenvoudig hoeveelheden mee vergelijken.
De Oude Egyptenaren gebruikten symbolen voor getallen en konden hier naast het gebruik van Egyptische Breuken, mee optellen, aftrekken, vermenigvuldigen en delen. Sommige methoden hiervan lijken nog op de methoden zoals wij ze nog gebruiken. Anderen kennen nadelen, zoals het delen, wat alleen bij een “uitkomende” deling goed werkte.
In de huidige tijd wordt geen gebruik meer gemaakt van de Egyptische Breuken. Vanuit de tijdsgeest en de vlucht die onze wiskundige kennis heeft genomen is dit wel te begrijpen. Toch is het bewonderenswaardig dat er in de Oude Egyptische beschaving, meer dan 5000 jaar geleden, zo’n bijzondere breukmethode is ontstaan die men eeuwenlang heeft kunnen gebruiken. De methode van het noteren van breuken met behulp van verschillende stambreuken is dan ook al deze eeuwen om de praktische redenen gebruikt. Hiermee wordt gehoopt de hoofdvraag van de praktische opdracht beantwoord te hebben.
Bronnen
Internet:
- http://www.nvvw.nl/media/downloads/wiskundescholenprijs/podagklas4/egyptische_breuken_opdracht.pdf
- http://www.math4all.nl/Wiskundegeschiedenis/Onderdelen/RGEgypte.htm
- http://nl.wikipedia.org/wiki/Egyptische_cijfers
- http://nl.wikipedia.org/wiki/Egyptische_hi%C3%ABrogliefen
- http://www.wiswijzer.nl/top.htm?url=http://www.mcs.surrey.ac.uk/Personal/R.Knott/Fractions/egyptian.html
- http://www.math.yorku.ca/Who/Faculty/Steprans/Courses/2042/EgyptianFractions/EgyptianFractions.html
- http://en.wikipedia.org/wiki/Egyptian_fraction
- http://www.mathpages.com/home/kmath340/kmath340.htm
Literatuur:
- Manley, B. De zeventig beroemdste mysteries van het Oude Egypte
- Sylvester, J.J. On a Point in the Theory of Vulgar Fractions. In: American Journal of Mathematics, Vol. 3, No. 4 (Dec., 1880), pp. 332-335