Basisstof wiskunde: extrapoleren

Inleiding

Naast interpoleren, waarbij het waardes binnen het bereik van de grafiek gaat, kennen we in de wiskunde extrapoleren. Bij doen we een voorspelling te over waardes die buiten de grafiek liggen.

Wat is extrapoleren?

Het principe van extrapoleren is eigenlijk hetzelfde als bij interpoleren alleen gaat het dus om waardes die buiten het bereik van gegevens liggen. Hiermee kunnen we dus intelligente dingen over het verleden en de toekomst zeggen. Verder is extrapoleren, net als interpoleren, een schatting zodat er altijd een kans bestaat dat de werkelijke waarde afwijkt.

Extrapoleren vanuit een grafiek

Om te extrapoleren hebben we eerst wat gegevens nodig. In de volgende voorbeelden zal ik telkens dezelfde gegevens gebruiken om zo een duidelijker beeld te schetsen over wat we precies aan het doen zijn.

Onderstaande grafiek geeft het aantal mensen in Nederland weer van 1960 tot aan 2000. Om te extrapoleren heb ik de lijn tussen 1990 en 2000 (dik weergegeven) doorgetrokken (oranje stippellijn) hiermee kan ik dus aan de hand van onderstaande gegevens het aantal mensen in 2012 schatten. Weergegevens met de paarse lijnen, we komen dus uit op iets meer dan 17.000.000 mensen.

Extrapoleren vanuit een tabel

Bovenstaande grafiek geeft duidelijk het principe weer van extrapoleren maar is niet erg nauwkeurig. Om een nauwkeuriger beeld te krijgen van de Nederlandse bevolking in 2012 aan de hand van bovenstaande gegevens heb ik een tabel opgesteld. Hierin staat een overzichtelijke weergave van de bevolking vanaf 1960 tot aan 2000.

Om de bevolking van Nederland te schatten aan de hand van deze gegeven gaan we als volgt te werk.

• Neem de laatste twee waardes van je gegevens (in ons geval dus 1990 met 14.952.000 en 2000 met 15.925.000 mensen) en trek de laatste van de eerste af (15.925.000 - 14.952.000 = 973.000).
• We weten dus dat in tien jaar tijd (van 1990 tot 2000) de bevolking is toegenomen met 973.000
• Nu reken we uit hoeveel dat per jaar is door het verschil van de bekende bevolkingswaardes te delen door het verschil van de bijbehorende jaren. (in ons geval dus 973.000 / 10 = 97.300).
• We weten nu dus dat er gemiddeld per jaar 97.300 mensen tussen 1990 en 2000 bijkwamen.
• Nu komt de grote aanname van het extrapoleren, we gaan er namelijk vanuit dat verder ieder jaar na 2000 de bevolking met 97.300 mensen zal stijgen (omdat dit het dichtst bij de toekomst ligt uit onze gegevens).
• Aangezien er tussen 2000 en 2012 twaalf jaar zitten, moeten we dus 97.300 vermenigvuldigen met 12 om te weten hoeveel mensen er tussen 2000 en 2012 zijn bijgekomen. (97.300 * 12 = 1.167.600).
• Ten slotte tellen we het aantal op bij de bevolking van 2000 zodat we de omvang van de Nederlandse bevolking in 2012 kunnen schatten op 15.925.000 + 1.167.600 = 17.092.600.

Nu ik dit artikel aan het schrijven ben is het 2011, dus ik kan moeilijk controleren hoe nauwkeurig dit getal is, maar ik heb volgens bovenstaande gegevens ook even uitgerekend hoeveel mensen er in 2010 zouden moeten zijn en toen kwam ik uit op;

(15.925.000 - 14.952.000) + 15.925.000 = 16.898.000

Aangezien de stappen keer tien en gedeeld door tien hier niet nodig zijn (omdat je in dit geval toch op hetzelfde antwoord zou uitkomen) heb ik ze weggelaten.

In het echt woonde er 16.615.000 mensen in Nederland in 2010. Ik zit dus met mijn schatting van 2010 in percentages 1,7% te hoog.

Nadelen

Net als bij interpoleren kunnen ook bij extrapoleren de echte waarden totaal anders zijn dan de geschatte waardes. Verder zorgt bij extrapoleren de aanname dat de waarden gelijkmatig hun stijging of daling zullen voortzetten voor extra onzekerheid. Bij interpoleren weet je in ieder geval tussen welke twee waardes de onbekende ligt, terwijl dit bij extrapoleren niet duidelijk is.

Conclusie

Extrapoleren is een prima manier om een schatting te maken over de toekomst of het verleden. Het wordt, in complexere vorm, vaak ook in de economie gebruikt of bij het CBS (centraal bureau voor de statistieken) die er ook de bevolking van 2012 mee schatten. Zij houden met nog veel meer zaken rekening en komen uit op 16.683.708. Of ze ook gelijk hebben zal de tijd moeten leren.