Wat heeft Reneé Descartes aan de wiskunde toegevoegd en waarom in zijn tijd

Inleiding

Wat heeft René Descartes toegevoegd aan de wiskunde en waarom in zijn tijd?

Geschiedenis

Hoe zag René descartes zijn leven eruit en heeft dat invloed gehad op zijn uitvindingen? René Descartes werd geboren in La Haye en Touraine (nu Descartes) in Frankrijk. Hij was het derde king van Joachim Descartes en Jeanne Brochard. Hij had 1 zus (Jeanne), 1 half zus (Anne) en een broek (pierre). Het was een rijke familie met vooral veel artsen. Maar Jeanna Brochard overleed 1 jaar nadat René Descartes was geboren. René zijn vader stuurde hem op 8-jarige leeftijd naar het grote Jezuïtencollege van La Flèche voor een klassieke opleiding. Hij zat daar 8 jaar (1606 – 1614). Nadat hij daar klaar mee was, ging hij rechten en mogelijk medicijnen studeren aan de universiteit van Poitiers. In 1618 vertrok hij naar Nederlands en ging René als vrijwilliger bij het leger van Prins Maurits. Hij was geen echte militair, maar zijn reden om mee te doen met het leger, was zodat hij de wereld en de mensen beter zou leren begrijpen. Dat schreef hij in één van zijn beroemde boeken: ‘Discours de la Methode’. René raakte gefascineerd door toegepaste wiskunde op bijvoorbeeld de vestingbouw, die door Simon Stevin was ontwikkeld. Hij raakte bevriend met Isaac Beeckman, een arts, filosoof en een wiskundige. Tot 1619 wekten ze aan de vrije val, de kettinglijn als kegelsnede en de hydrostatische paradox. Hij was dus al veel in aanraking geweest met toegepaste wiskunde. In de nacht van 10 november 1619 kreeg hij een belangrijke droom. In zijn droom zag hij zichzelf een gedicht voordragen, met als de eerste regel: ‘Quod vitae sectabor iter.’ (Wat voor levensweg zal ik gaan leiden?) En niet lang daarna introduceerde hij zijn ideeën voor een nieuwe filosofie. Namelijk het verband tussen analytische meetkunde en de verschillende wetenschappen. In 1620 ging René weer uit het leger, helemaal te concentreren op de wiskunde een filosofie.

Hij bleef contact houden met Beeckman terwijl hij van 1620 tot 1628 naar Italië ging. Daarna ging hij weer terug naar Frankrijk en ontdekte hij zijn interesse in optica. Kardinaal de Berulle zei dat hij verder moest werken met het uitwerken van zijn ideeën die het systeem van Aristoteles konden vervangen. 2 jaar later in Nederland beschuldigde Beeckman hem van plagiaat, en was het over met de vriendschap. Descartes had bijna overal al wel gewoond, tot dat hij zijn enige liefde ontmoette. Hij werd vader van een dochter Francine, maar zijn liefde (Helène Jansdochter) overleed in 1940. In 1644 en 1647 keerde hij weer terug naar Parijs waar hij zijn boek ‘Discours de la méthode’. Daarna kwam het volgende boek: La géometrie. Het was een aanhangsel van de Discours de la méthode, waar hij de algebra toepaste op meetkundige vraagstukken, waarmee meetkundige objecten konden worden beschreven met getallen en vergelijkingen.

Hij was de allereerste die deze aanpak hanteerde en met dat had hij een begin gecreëerd van de moderne wis- en natuurkunde. In 1648 ging Descartes naar Stockholm op verzoek van koningin Christina van Zweden. Daar liep hij een longontsteking op waaraan hij in 1650 overleed. Zijn leven had zijn werk zeker beïnvloed.

Wat heeft René Descartes uitgevonden in de wiskunde?

Wat zijn variabelen?

Een variabele is een waarde die kan veranderen. Alle mogelijke waarden, worden samen het definitiegebied van de variabele genoemd. De gemeten of vastgestelde waarde van de variabele, wordt de uitkomst genoemd. Een variabele wordt meestal met een letter uit het alfabet aangegeven, het komt heel soms voor dat het met meerdere letters wordt aangegeven. Als de variabele bekend is wordt het benoemd met een van de eerste letters uit het alfabet, als de variabele onbekend is word het met een van de laatste letters uit het alfabet benoemd. WAT IS DE MACHT? De macht staat schuin boven het grondgetal. De macht vertelt hoe vaak het grondgetal zichzelf moet vermenigvuldigen. ‘Macht’ is het basiswoord, maar stel dat er staat x2, dan is de ‘ 2', de exponent en niet de macht.

Wat houdt de macht op variabelen in?

Je hebt machten en exponenten, zo heb je ook variabelen en grondgetallen. Machten zijn onbekende exponenten. Stel er staat: xx, dan is het grondgetal onbekend, dus een variabele, en de exponent ook, een macht dus. De macht op een grondgetal/variabele, houdt dus in dat het getal waarmee het grondgetal/de variabele zichzelf mee moet vermenigvuldigen, onbekend is.

Wat leidde uit de toepassing van Algebra op meetkunde?

Door de toepassing van algebra op meetkunde ontstond het Cartesische assenstelsel. Hierdoor kun je meetkundige zaken het beste beschrijven, met behulp van getallen en vergelijkingen. Het Cartesische assenstelsel is dan ook uitgevonden, door algebra en meetkunde samen te voegen. In deze tijd wilde men meetkundige objecten steeds beter kunnen beschrijven, daarom gingen ze ook steeds dieper op een goede formulering hiervoor in. Voor deze formulering moest men ze goede afspraken hebben, een manier hoe iedereen berekeningen etc. zou opschrijven, anders zouden er onduidelijkheden kunnen komen. Zoals eerder is verteld, heeft René Descartes bedacht om voor onbekende hoeveelheden de laatste letters van het alfabet te gebruiken(x,y,z) en voor bekende hoeveelheden, de eerste letters van het alfabet (a,b,c). Ook heeft hij de streep boven het wortelteken bedacht. Deze streep dient voor hetzelfde als haakjes onder het wortelteken. In de nacht van 10 November 1619, had René Descartes drie belangrijke dromen. In deze dromen begonnen zijn ideeën over een nieuwe filosofie en de analytische meetkunde. De analytische meetkunde is onder andere tot stand gekomen door de kennis van wiskundigen op het gebied van algebra wat werd toegepast op de wiskunde. Deze analytische meetkunde is later nog, door andere wiskundigen, uitgewerkt tot de analyse van functies. Analytische meetkunde is de oudste wiskundetekst, die kan worden gelezen zonder notatieproblemen te vinden.

Wat is analytische meetkunde

Analytische meetkunde, is meetkunde waar algebra op toegepast is. Het meetkundige deel zijn de lijnen en punten, en de getallen zijn van het algebra deel. De getallen zijn dus toegepast op lijnen en punten. In de analytische meetkunde heb je een paar belangrijke onderwerpen: Vectorruimtes Een vectorruimte is een wiskundige structuur. Het wordt gevormd door een verzameling van vectoren. Vectoren zijn getallen die niet alleen maar waardes geven, maar ook een richting. Ook bestaan er ‘gebonden vectoren’. Deze gebonden vectoren hebben een waarde, een richting én een aangrijpingspunt.

De definitie van een vlak Het begrip “vlak” is moeilijk te omschrijven, maar men verstaat er een oppervlak onder, dat oneindig kan zijn en plat is. Het vlak vult twee dimensies zonder bergen of dalen.

Het kruisproduct

Het kruisproduct, ook wel vectorproduct, is het resultaat van de vermenigvuldiging van twee op elkaar staande vectoren a en b (a∙b). Het resultaat is een loodrechte lijn (wordt in figuur 1 weergegeven als a∙b ). Om achter de richting van a∙b te komen, is het nodig vector a naar vector b te draaien alsof je een kurkentrekker gebruikt, waarbij de draairichting van de kurkentrekker de richting van a∙b bepaalt. De kurkentrekker kun je ook vervangen door je linkerhand. Je vlakke hand leg je dan langs vector a, met je vingers in de richting die vector a opwijst. Dit doe je op zo’n manier, dat je handpalm over de richting van vector b komt te liggen. Je uitgestrekte duim geeft dan de richting van a∙b aan. Voor het bereken van a∙b moeten we gebruik maken van de kruisproducten van a en b. Het kruisproduct van a is als volgt: a=(a_x,a_y,a_z). Het kruisproduct van b is b=(b_x,b_y,b_z). Wanneer we deze uitdrukken in de coördinaten a en b krijgen we: a∙b=a_y b_z-a_z b_y,a_z b_x-a_x b_z,a_x b_y-a_y b_x.

Het inwendig product, om de hoek tussen twee vectoren te bepalen Deze drie onderwerpen hebben we proberen uit te zoeken, maar het is op een té hoog niveau. Als we dit zouden willen uitleggen zouden we eerst een wiskunde opleiding moeten volgen.

Doorsnede probleem Afstand probleem

Veel van deze problemen maken gebruik van de lineaire algebra Vector: een getal dat niet alleen een waarde geeft, maar ook de richting. Lineaire algebra: een deelgebied in de wiskunde.

WAT IS HET CARTESISCHE ASSENSTELSEL?

Een cartesisch coordinatenstelsel is een coordinatenstelsel waarbij de x,y, en soms de z as, altijd loodrecht op elkaar staan. De z as wordt bepaalt of door het aantal dimensies. Met 3 dimensies zul je 3 assen hebben. Met 2 dimensies 2 assen.

Alle punten, (die gegeven worden door 2 coordinaten) vormen samen het cartesisch vlak.

Het cartesisch coordinatenstelsel wordt het meest gebruikt doordat je in dit stelsel meetkundige zaken het beste kunt beschrijven.

2 dimensies:

Een cartesisch assenstelsel met 2 dimensies bestaat uit 2 assen (X, Y) die loodrecht op elkaar staan. Op de as worden waarden ingevuld, die met evengrote stappen toenemen. Door die waarden, kunnen punten worden genoteerd. De punten bestaan uit 2 coordinaten (X,Y) bijvoorbeeld het punt (5;4). De 5 is de waarde van de x-as en de 4 de waarde van de y-as. Zo kan er een punt worden gevormd.

Doordat de x-as (horizontale as) en de y-as (verticale as) elkaar kruizen, dit kruispunt heet oorsprong (O), ontstaan er vier verschillende vlakken. Die vakken noemen we kwadranten, die aangegeven worden met de Romeinse cijfers: I, II, III, IV De kwadranten worden tegen de klok in benoemd, wat begint bij het kwadrant rechts boven in. In het tabel hieronder staan de waarden van de x-as en de y-as voor kwadranten.

Kwadrant X waarden Y waarden I >0 >0 II <0 >0 III <0 <0 IV >0 <0

3 dimensies:

In een cartesisch assenstelsel met 3 dimensies worden 3 assen gebruikt (x,y,z) Een punt wordt gevorm door 3 coordinaten.

Het cartesisch coordinatenstelsel bestaat uit 2 soorten. Een linkshandig assenstelsel en een rechtshandig assenstelsel. Hier 2 voorbeelden van een linkshandig- en een rechtshandig assenstelsel.

Een rechtshandig assenstelsel: een linkshandig assenstelsel: Je kunt zo'n linkshandig of rechtshandig assenstelsel herkennen door je vingers naast het assenstelsel te leggen met je handpalm richting het papier. Je duim, wijs vinger en middelvinger leg je op de verschillende assen neer. Je duim hoort altijd de op de x-as te liggen, dus als dat niet wil met je rechterhand, is het dus een linkshandig cartesisch assenstelsel.

Meer informatie

http://nl.wikipedia.org/wiki/Cartesisch_co%C3%B6rdinatenstelsel
http://home.planet.nl/~warre024/WebsiteGS.html
http://nl.wikipedia.org/wiki/Ren%C3%A9_Descartes#Wiskunde
http://nl.wikipedia.org/wiki/Machtsverheffen
http://www.scholieren.com/werkstukken/29834
http://en.wikipedia.org/wiki/Analytic_geometry
http://nl.wikipedia.org/wiki/Analytische_meetkunde
http://www.kennislink.nl/publicaties/descartes-en-zijn-nederlandse-profeten *http://nl.wikipedia.org/wiki/Lineaire_algebra
http://nl.wikipedia.org/wiki/Vectorruimte
http://nl.wikipedia.org/wiki/Kruisproduct
http://nl.wikipedia.org/wiki/Inwendig_product