Wat is de Abc-formule

Inleiding

De Abc-formule gebruik je bij het oplossen van tweedegraadsvergelijkingen.

De ABc-formule is als volgt gedefinieerd:

(met als voorwaarde dat a≠0)

Wat is een tweedegraadsvergelijking?

Een tweedegraadsvergelijking wordt ook wel een kwadratische vergelijking genoemd. De vergelijking 3x² + 2 = 6x + 5 is een voorbeeld van een tweedegraadsvergelijking. In tweedegraadsvergelijkingen komen termen voor zoals 5x², maar nooit hogere machten zoals 5x³ of 5x⁴.

Elke tweedegraadsvergelijking valt te herleiden naar de standaardvorm:

Eenvoudige tweedegraadsvergelijkingen kun je oplossen met de som-product-methode. Wanneer dit niet lukt biedt de Abc-formule altijd uitkomst. In dit artikel wordt niet verder ingegaan op de theorie achter de som-product-methode.

Basisregels

Voordat je weet hoe de abc-formule moet worden toegepast, is het handig eerst wat basiskennis te hebben van het oplossen van een tweedegraadsvergelijking.

Je mag bij beide leden van de vergelijking met hetzelfde getal optellen of aftrekken
Je mag bij beide leden van de vergelijking met hetzelfde getal (≠0) vermenigvuldigen of door het zelfde getal (≠0) delen.
Tweedegraadsvergelijkingen los je op door eerst tot de standaardvorm te herleiden door gebruik te maken van bovenstaande regels.

Een tweedegraadsvergelijking in de meest eenvoudige vorm is: x²-4 = 0

Oplossen gaat dan als volgt: Tel aan beide kanten van het "= teken" vier bij (basis regel 1), zodat:

x² = 4

x = √4

x = + 2

Herleiden naar de standaardvorm

Een tweedegraadsvergelijking is altijd te herleiden naar de standaardvorm.

Bijvoorbeeld:

x² + 3 = 2x² +7

Herleiden volgens de basisregels geeft:

x² - 2x²+3 -7 =0

-x² -4 = 0

x² + 4 = 0

De standaardvorm is hier: y = 1·x² + 4 + 0, met a = 1, b = 4 en c = 0.

Met een beetje inzicht kun je zonder de Abc-formule al de oplossing vinden:

x² = 4

x = √4

x = + 2

Som-product-methode

Sommige vergelijkingen vragen wat meer rekenkunst. Een vergelijking in de vorm x²+ 5x + 6 = 0 valt niet in één oogopslag op te lossen.

Door gebruik te maken van de som-product-methode kom je erachter dat:

x² + 5x + 6 = (x+3)(x+2) = 0

Zodat x = -3 of x = -2.

In dit artikel wordt niet verder ingegaan op de theorie achter de som-product-methode. Deze methode biedt ook niet altijd een uitkomst.

Een voorbeeld van een vergelijking waarbij de som-product-methode geen uitkomst biedt is:

3x² – x -1 = 0.

Oplossen met behulp van de Abc-formule

Wanneer een oplossing met behulp van de som-product-methode niet lukt, kun je de Abc-fomrule toepassen.

In de volgende stappen kan de oplossing worden gevonden:

Op nul herleiden (tot standaardvorm)
Parameters a,b en c bepalen
Discriminant bepalen
Invullen van de Abc-formule
Controle

Discriminant

We beschouwen de standaard tweedegraadsvergelijking:

In de Abc-formule is de discriminant D verwerkt.

Uit de dicriminant kun je opmaken hoeveel oplossingen de vergelijking heeft (indien gelijk gesteld aan nul), oftwel hoeveel snijpunten met de x-as de grafiek van y = ax²+bx+c heeft.

Samenvattend kan het volgende worden gezegd:

Voor D > 0: twee oplossingen
Voor D = 0: één oplossing
Voor D < 0: geen (reële) oplossingen

Verder kan gezegd worden:

Voor a > 0: dalparabool
Voor a < 0: bergparabool.

In de onderstaande figuur is dit duidelijk weergegeven:

Figuur 1: Relatie snijpunten en discriminant voor a > 0 (blauw) en a < 0 (groen)

Voorbeeld som

Gevraagd

Los op

3x² + x -4 = 2x - 3

Of anders geformuleerd:

Wat zijn de x-coördinaten van de snijpunten van de grafieken f(x) = 3x² + x -4 en g(x) = 2x - 3 ?

(Beide vraagstellingen komen op hetzelfde neer)

Uitwerking

Stap 1 - Op nul herleiden (naar standaardvorm)

3x² + x -4 = 2x - 3

3x² + x -2x -4 + 3 = 0

3x² – x -1 = 0

Stap 2 - parameters a, b en c bepalen

Standaard: Y = ax² bx +c

Opgave: 0 = 3x² –x -1

Zodat:

a = 3

b = -1

c = -1

Stap 3 - Discriminant bepalen

Invullen van de formule leverd:

Maak hieruit op dat D > 0, dus twee oplossingen.

Stap 4 - Invullen van de Abc-formule

Invullen van , levert zodat x₁ = 0,768 en x₂ = 0,434

Stap 5 - Controle

Invullen van zowel x₁ als x₂ moet nu nul opleveren.

Controle van x₁: 3·0,768² - 0,768 - 1 ≈ 0 (afgezien van de afronding bij stap 4)

Controle van x₂: 3·0,434² - 0,434 - 1 ≈ 0 (afgezien van de afronding bij stap 4)

Stap 6 - Akkoord

Abc-formule op je grafische rekenmachine (TI-84)

Traditioneel

Je kunt eenvoudig oplossingen van tweedegraadsvergelijkingen vinden van een grafiek door hem te plotten in de grafische rekenmachine (GR) en vervolgens met calculatie 2 (zero) de snijpunten met de x-as vinden.

Progammacode op de Grafische Rekenmachine (GR) TI-84

Je kunt de GR ook automatisch oplossingen laten generen, waarbij je allen de variabelen van a, b en c moet invullen. Op internet zijn genoeg sites te vinden die de programmeercode geven en ook een beschrijving geven om het in te voeren. Het programma is vaak ook te downloaden.

Aanbevolen wordt: www.calcprograms.nl