Wat is een logaritme

Inleiding

In dit artikel wordt in het kort uitgelegd wat een logaritme is en wat de basisregels zijn voor rekenen met logaritmen. Dit wordt duidelijk gemaakt aan de hand van een aantal rekenvoorbeelden.

Definitie

De wiskundige definitie van een logartime is:

Een logaritme is een inverse (tegenovergestelde) van een exponentiële functie. Onder een exponentiële functie verstaan we een functie van het type: f(x) =a^x (met a in R+). Er is dus een verband tussen deze twee soorten functies. Dit verband kan o.a. worden gebruikt om vergelijkingen op te lossen waarin een logaritme of een exponentiële factor voorkomt. 

Verband met een exponentiële functie

In de exponentiële uitdrukking g^x = a staan 3 getallen: g, x en a.

Bij gegeven g en x kunnen we a bepalen door middel van machtsverheffen.

Ook als x en a zijn gegeven kunnen we g bepalen door middel van machtsverheffen: g = a^1/x

Als g en a bekend zijn, kunnen we x (de macht waartoe we g moeten verheffen om a te krijgen) bepalen met logaritme nemen. We gaan dus uit van g^x = a (g en a zijn gegeven) en willen de exponent x bepalen. 

g^x= a ↔ x = ^glog a

Hierin is g het grondgetal en a het argument. Als g = 10, schrijven we x = log a.

Basisregels

Afspraken

We spreken van:

1. Briggse logaritmen als g = 10.

2. Natuurlijke logaritmen als g = e= 2,71828... In plaats van ^elog schrijven we dan ln, de afkorting van het latijnse woord logartime naturalis; dus: ln x = ^elog x.

3. Als g niet vermeld is, dan is g = 10. 

Rekenregels

Voor alle g in R+ met g≠1 geldt:

1. ^glog ab = ^glog a + ^glog b (met a>0 en b>0)

2. ^glog a/b = ^glog a - ^glog b (met a>0 en b>0)

3. ^glog a^b = b· ^glog a (met b in R en a>0)

4. ^glog a = (^plog a)/(^plog g) (met p willekeurig in R+, p≠1 en a>0)

OPMERKINGEN

Uit rekenregel 3 volgt:

^glog ^b√a = (1/b) · ^glog a (met b in N+ en a>0)

en

^glog(1/a) = - ^glog a (met a>0)

Uit rekenregel 4 volgt:

^glog a = 1/^alog g (met a>0) 

Voorbeelden

Hieronder worden een aantal voorbeelden gegeven hoe uit een logaritmische vergelijking x kan worden gevonden. 

Voorbeeld 1

Bereken x als ³log x = 4.

Oplossing: 

Uit ³log x = 4 volgt volgens de definitie: x = 3⁴ = 81.

 Voorbeeld 2

Bereken x als 3 - ⁵log x = 1.

Oplossing: 

Uit 3 - ⁵log x = 1 volgt ⁵log x = 2 en hieruit volgens de definitie: x = 5² = 25.

Voorbeeld 3

Bereken x als ³log (4/x) = ³log x.

Oplossing: 

Uit ³log (4/x) = ³log x volgt (4/x) = x. Ook te schrijven als (4/x) = (x/1). Na kruislingsvermenigvuldigen vinden we de vergelijking x² = 4 met als oplossingen x = 2 en x = -2. Van deze twee oplossingen voldoet x = -2 niet aan de voorwaarde a > 0. De oplossing is dus x = 2.

Logaritmische functies

Onder een logaritmische functieverstaan we een functie van het type (zie ook figuur 1):

In figuur 1 zijn de grafieken van de twee hoofdtypen logatritmische functies ^glog x, voor g > 1 (f) en voor 0 < g < 1 (h). Steeds geldt dat een logaritmische functie de gespiegelde is van de grafieken van de exponentiële functie. Zo hebben de de logaritmische grafieken altijd een verticale asymptoot^*: De gespiegelde van de horizontale asymptoot van de exponentiële functie.

Onder een exponentiële functie verstaan we een functie van het type: f(x) =a^x (met a in R+)

*In de wiskunde is een asymptoot van een functie een rechtelijn of een kromme waar de grafiek van de functie dicht toe nadert zonder daadwerkelijk te raken of te snijden. 

Figuur 1 Grafieken van f(x) = ²log x en g(x) = ^1/4log x 

Bij het schetsen van de grafiek van bijvoorbeeld f(x) = ²log (4-x), letten we eerst goed op dat er moet gelden (4-x) > 0, dus x < 4. In het punt x = 4 zit dus de verticale asymptoot en verder loopt de grafiek boven het interval (←, 4).  De functie waarden van x = 3,5; x = 3; x = 2; x = 0 en x = -4 leveren nu snel de grafiek van f(x) = ²log (4-x). (zie ook figuur 2).

Figuur 2 Grafiek van f(x) = ²log (x-4) 

Log invoeren op de Grafische Rekenmachine (TI-84)

Op de GR zit het knop je [LOG] waarmee je de logaritmen met het grondgetal 10 kan benaderen. Nu is het probleem dat je GR geen functie heeft voor logaritmen met een ander grondgetal dan 10 of e. (Voor e is dat [LN]) Dus wanneer je iets wilt uitrekenen wat ²log 8 of ³log 81 is dan gaat dat niet zomaar. Je kunt gebruik maken van rekenregel 4:

^glog a = (^plog a)/(^plog g)

Je wilt bijvoorbeeld ²log 8 uitrekenen. Dit is hetzelfde als (¹⁰log 2)/(¹⁰log 8).

Invoeren op de GR: [LOG]2 / [LOG]8 = 0,333...